如何测量解读Zernike多项式
一、Zernike多项式的表达式
通常人们会使用幂级数展开式的形式来描述光学系统的像差。由于泽尼克多项式和光学检测中观测到的像差多项式的形式是一致的，因而它常常被用来描述波前特性。
在极坐标系统中，Zernike多项式表示为：
上式中
为仅与径向有关的项，
为仅与幅角有关的项，n为多项式的阶数，m为频数。ρ为圆上的半径，取值范围[0,1]，θ为正弦分量的频率，取值范围为［0，2Π］。l为与角度相关的参数，n与l奇偶性相同，n≥| l |，(n-l)始终为偶数。
二、Zernike多项式的特点
（一）在连续的单位圆上正交：
由于在一般被测光学器件或光学系统中都具有圆形光瞳或圆形通光孔径，经过归一化后正好为单位圆，因此Zernike多项式具有的这种单位圆上正交性恰好满足圆形光瞳的特点。需要说明的是，Zernike多项式在圆内离散点处不正交，在实际的测量过程中所遇到的多是离散点的情形因此要对Zernik多项式进行处理。
（二） 特有的旋转对称性：
当函数（波面）绕圆心旋转时，多项式的数学形式保持不变。
（三）与像差的对应关系：
Zernike多项式与初级像差有着一定的对应关系并且与光学设计中惯用的 Seidel像差函数很容易建立起联系这也是光学像差分析中常用到Zernike多项式的原因。
Zernike各项系数与像差的关系：
Zernike多项式系数与Seidel像差系数之间的转换关系：
其中，式中的mag表示大小，angle表示角度（方向），Tilt、Focus、Asti、Coma和Sphe分别表示Seidel像差里的倾斜、离焦、初级像散、初级彗差和初级球差，Z2~Z9为Zernike Fringe多项式系数。
三、Zernike多项式各项及部分波面示意图
如上图所示为多项式的各项，将各项乘以相应的系数，再相加，就得到一个三维面形数据，不同项有不同的意义。根据不同的影响，拟合出各项系数，便可得到所求的面形。
Zernike多项式部分项的波面：
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