一、基本定义及性质

勒让德多项式是表述矩形表面和口径的一组多项式集合，其优点是在矩形区域内具有正交性，它的数学描述如下：

式中，，，c_n代表其各项系数。从图像上看，它是一个类似正弦函数的波动函数，下图为几个低阶的勒让德多项式：

性质（一）：正交性

二、主要用途

通常情况下，在干涉检测中常用泽尼克多项式作为面形拟合函数，它是一种仅在圆形光瞳上正交的序列函数，但却不适用于柱面镜面形或方形镜面形的面形拟合，而勒让德多项式是一组可在[-1,1]的矩形区域上正交的序列函数，它的这种正交性满足了柱面或矩形对称区域的特点，故可以用勒让德多项式来对柱面镜面和方形镜面等进行面形拟合。

三、我司在勒让德多项式方面的研究成果

目前我司常用的有两款干涉测量软件，分别是相移干涉测量软件PhaseSight和SwordPro移相干涉测试软件。PhaseSight是一代64位集成软件包，可配合多种相移干涉仪使用，现支持传统的PZT移相、波长调谐移相和偏振同步移相三种模式；SwordPro是本公司开发的PSI移相干涉测试软件的全新升级版，其支持两种移相驱动方式和多种图像采集方式。

测量方形元件时，干涉测量软件能够通过勒让德多项式对测量数据进行面形拟合。通过拟合前后结果对比分析，我们可以得知，利用勒让德多项式拟合的面型比较完美的符合被测方形元件的面型，其面型检测指标PV值、RMS值等也均符合要求。

我司在勒让德多项式方面的研究于国内首屈一指，其拟合结果不仅能够精确到小数点后六位之多，其系数数值的准确度更与ZYGO保持一致。同时，其软件运算速度更是ZYGO软件的2倍有余，运算结果精确、运算速度更快。

      此外，勒让德多项式还可以与赛德像差对应，如多项式的第二项和第三项（L₁和L₂）代表倾斜项，第四项和第六项（L₃和L₅）代表离焦项等。它为有选择的单独处理各像差系数，优化系统性能提供了有效方法。