一、功率谱密度(PSD)简介

 传统光学面形评价指标如峰谷值(PV)、均方根值(RMS)及粗糙度，仅覆盖了表面面形低频及高频频率段，不能有效评价元件表面中频频段的面形误差，而对于中频部分面形误差的评价的最好指标就是使用功率谱密度。美国NIF根据畸变波前空间调制周期L的大小，将畸变波前分为三个频段：低频段（L≥33mm），中高频段（0.12mm＜L＜33mm）、高频段（L≤0.12mm），并分别用PV及GRMS（位相均方根梯度）、PSD、RMS作为各个频段的评价参数。

 波前功率谱密度(PSD)，其计算的本质是傅里叶频谱分析，分析时不受元件孔径的限制，便于对不规则外形的元件进行各种频率分量的分析。采用PSD描述方法，通过傅里叶变换，可以定量地给出光学元件波前误差的空间频率分布，从而确定各个频率分量的影响。

二、波前PSD的计算方法

（一）PSD定义

 在对光学表面面形评价的应用中,功率谱密度的定义为波面频率分量傅立叶频谱振幅的平方,其一维形式为：     

 式中f_i空间频率，Δf = f_i+1-f_i（i=1，2，3，……）为频率间隔，A(f_i)是z(x)的一维傅里叶变换：

      其中z(x)是光学轮廓函数。

（二）基于波面相位函数计算PSD

      在实际应用中，可以通过波面相位函数直接得到，一维PSD为：

      其中，Φ^*(f)表示取复共轭，L为取样长度，Φ(f)为空间域二维位相函数ф(x)的傅里叶变换。同理得出二维波面PSD为：

      其中，L_x，L_y分別为X轴、Y轴方向上的空间域采样长度，Φ(f_x,f_y)为空间域二维位相函数ф(x,y)的傅里叶变换。

（三）PSD离散化公式

 数字干涉仪测得的轮廓数据是离散的，离散化后其一维形式为：

      其中m∈[-N/2,N/2]，N为采样点数，Δx为采样间隔，m为频率离散自变量，z(n)为被测波面的采样点数据。z(n)为波面数据，n=0,1,2,…,N-1。将干涉仪测得的波面数据带入上式就可以得到被测样品的PSD值

      同理，PSD的二维离散形式为：

三、波前PSD的测量

        PSD并不是一个单一的量值,而是一个分布图,在干涉检测中表示了光学元件面形的频谱在各个空间频率成分的权重分布。它直接反应了在频域中不同频率所对应的值（误差、能量或其他）。

波前PSD的测量实际上是对光学元件反射波前或透射波前的检测。在干涉仪上获得光学元件的波前误差，沿水品方向和垂直方向分别对波前误差数据进行傅里叶便函，即可分别得到两个一维的PSD结果。PSD曲线的强烈的波纹表示该包面轮廓具有明显的空间波纹起伏信息。

     下面展示了使用我司研制的某型干涉仪对某光学表面进行测量，得到的测量结果。首先在软件中对测量区域进行标定，设置采样长度。

然后点击测量按钮完成对光学表面的测量。生成面形的二维和三维图，计算得出PV、RMS等面形质量评价参数，同时自动生成波前的PSD曲线。

四、PSD的量纲单位及包含的信息

（一）PSD的量纲单位

         根据PSD的一维表达式，A(f_i)的量纲为(m)²，Δf的量纲为(m)^-1，所以一维PSD的量纲为(m)³，即一维的量纲为长度单位的三次方，在应用中通常采用(nm²mm)做为单位。

       同理根据二维PSD离散表达式，可知二维PSD的量纲为长度单位的四次方。在应用中通常采用(nm²mm²)作为单位。

（二）PSD曲线与标准偏差（RMS）之间的关系

         由Parseval定理得，在相同频段范围内PSD曲线下方包含的“面积”等于波面均方根(RMS)的平方，即：

       一维形式：

       二维形式为：